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ISSN : 1225-4517(Print)
ISSN : 2287-3503(Online)
Journal of Environmental Science International Vol.28 No.2 pp.211-217
DOI : https://doi.org/10.5322/JESI.2019.28.2.211

Impact of Parameters of Nonlinear Breach Progression Curve on Outflow Rate

Lee Khil-Ha*
Department of Civil Engineering, Daegu University, Gyeongsan 38453, Korea
*Corresponding author: Khil-Ha Lee, Department of Civil Engineering, Daegu University, Gyeonsan 38453, Korea phone : +82-53-850-6522
26/11/2018 11/01/2019 12/01/2019

Abstract


A Numerical modeling approach is usually applied to reproduce the physical phenomena of a fill dam-break. The accuracy of the dam-break model depends on the physical structure that defines input variables such as the storage volume, breach formation and progress, and the parameters of the model, which are subjective as they are prescribed by users. In this study, a sensitivity analysis was performed for the nonlinear breach progression curve that was already developed, which includes four parameters. The study focuses on the two of the parameters which control the breach forming time and peak discharge. The model is coupled with a two-dimensional flood simulation model (FLO-2D) to examine flood coverage and depth. It is generally observed that the parameter β controls only the breach forming time, the parameter γ is particularly sensitive to the peak flow.



저수지 붕괴함수의 매개변수 결정이 유량과 침수범위에 미치는 영향

이길하*
대구대학교 토목공학과
    Daegu University

    1. 서 론

    우리나라 주변에 산재하는 농업용 저수지는 대부분 필댐 형식의 흙댐으로, 가뭄 시 농업용수를 공급하는 역 할을 주로 하고 있다. 농업용 저수지는 거주지에 인접해 있는 경우도 있어 댐붕괴로 홍수가 발생하면 막대한 인 명과 재산피해를 가져온다. 2차적으로 환경과 생태계에 변화를 일으킴으로써 인간의 생활에 직간접적으로 영향 을 미친다(Evans, 1986;Costa, 1988;Costa and Schuster, 1988;Singh, 1988;Wahl,1998;Wahl, 2004). 우리나라 농업용 저수지는 약 53% 정도가 1945 년 이전에 축조되어 노후화로 인한 붕괴 위험이 높다. 댐 붕괴가 위험한 것은 피해 규모가 크다는 사실뿐 아니라 예기치 못한 시기에 갑자기 발생함으로써 적절한 대응이 어려운 점에 있다 (ASCE, 2011). 댐, 저수지와 같은 수 변구조물의 피해를 줄이기 위하여 발생 가능한 시나리오 를 사전에 구성하고 그에 따른 대비책과 대응 매뉴얼을 작성하여 일련의 효과적인 조처를 취하는 것이 바람직 하다. 댐붕괴 시나리오의 구성은흔히 댐붕괴 수치모형을 바탕으로 구성한다. 댐붕괴 모형은 크게 매개변수형과 동역학적 모형으로 구분할 수 있다. 매개변수형은 수학 적 모형에 매개변수가 포함되어 매개변수를 통하여 지역 적 특성을 반영하다. 동역학적 모형은 운동방정식을 바 탕으로 실시간 댐붕괴 현상을 모의하는 방식으로 흐름방 정식뿐만 아니라 실시간으로 댐의 침식진행을 계산하므 로 수치계산이 복잡하다. 정확도에서 우열을 가리기가 힘들고 복잡성과 비용문제로 인하여 학계에서는 매개변 수형을 선호하는 경향이 있다.

    이 논문에서는 댐붕괴 진행을 재현하기 위하여 제시 된 비선형 붕괴모형으로부터 시작하였다. 19세기 개발된 수학적 모형인 라지스틱함수(Verhulst, 1845)를 바탕으 로 한 수정형 댐붕괴 진행모형으로 네 개의 매개변수를 포함하고 있다. 이 연구에서는 예비적 연구로서 저수지 댐의 붕괴 위험성을 인식하고 산대저수지(Fig. 1)의 붕괴 모형을 재분석하기에 앞서 붕괴 모형의 매개변수의 민감 도를 분석해보고 나아가 2차원 수치모형 FLO-2D의 홍 수 범람 모의에 영향을 미치는 정도를 살펴보았다. 여기 서 제시한 결과는 노후한 저수지 붕괴로 인한 주변의 위 험 지역을 사전에 제시하고 홍수 예경보를 위한 위험지 도를 작성함에 있어 댐붕괴 수치모형을 활용하는 중요한 단서와 정보를 제공할 것이다.

    2. 이론적 배경

    2.1. 붕괴함수

    흙댐이 붕괴하면 먼저 하류부의 턱(toe of the downstream slope) 에서 침식이 시작하여 댐마루(crest) 바닥이 보일 때까지 붕괴가 진행한다. 이러한 현상은 자체로 복잡하지만 댐몸체(dam body)가 이질성 재료로 구성된 경우 더욱 더 복잡하여 수학적 모형에 반영하기 에는 쉽지가 않다. 흔히 인공댐의 붕괴 진행은 특정된 수 학적 함수를 따른다고 가정하고 간단한 모형을 개발한다 (Peng and Zhang, 2012). 여기에서 사용되는 라지스틱 모형은 매개변수형으로 댐몸체의 침식과 수리학적 흐름 특성을 잘 포함시키는 수학적 모형이다. 매개변수형에서 는 붕괴출구(breach) 모양을 흔히 사각형 또는 사다리꼴 형으로 가정하고 붕괴출구에서 흐름은 넓은마루 위어 (broad-crested weir) 이론을 바탕으로 유량을 계산한다. 유량계산에서는 범람지역에서 침식으로 발생한 유사이 동, 침식, 세굴로 인하여 나타나는 지표면 형태 변화를 고 려하지 않는다고 가정한다(Wahl et al., 2008). 다음은 붕괴출구의 높이가 시간에 따른 함수로 변화하는 것을 수학적으로 표현한 것으로 수정형 라지스틱함수이다.

    h d ( t ) = α μ 1 + e γ ( t β ) + μ
    (1)

    여기에서 hd(t)는 댐바닥으로부터 붕괴출구(breach) 바닥높이를 시간의 함수로 나타낸 것이며, t(hr)는 붕괴 진행시간을 나타낸다. 식(1)은 네 개의 매개변수 α = 댐 상부 높이; β= 최대 붕괴 진행 시간; γ= 붕괴 진행 속도; μ= 댐하부 높이를 포함한다. 식(1)은 수정형 라지스틱함 수(Verhulst, 1845) 로서 식(1)을 미분하면 다음과 같이 시간의 함수로 나타나는 붕괴진행곡선, K(m/hr)는 댐체 의 붕괴율 또는 침식율을 나타낸다.

    h d ( t ) = K = γ ( α μ ) ( e γ ( t β ) ) ) ( 1 + e γ ( t β ) ) 2
    (2)

    2.2. 유량곡선

    붕괴 유출구(breach)를 통하여 흘러나가는 유량을 계 산하기 위한 흐름 방정식은 다음과 같다 Waythomas et al., 1996;Walder and O’Connor, 1997).

    d H d t = K D p p V o g 0.5 H 1.5 ( c 1 b + c 2 H  cot θ ) ( D + H K t ) p 1    ( t < D / K ) d H d t = D p p V o g 0.5 H 2.5 p ( c 1 b + c 2 H  cot θ )     ( t D / K )
    (3)

    식(3)에서 D는 댐마루에서 유출구 바닥까지의 높이이 며, H는 유출구 기초바닥으로부터 수위를 나타낸다. b는 붕괴가 진행하면서 커지는 유출구 바닥의 폭으로서 다음 의 조건을 가진다.

    b = r K t ( t < D / K ) b = r D ( t D / K )
    (4)

    식(4)에서 r은 유출구 깊이와 폭의 비를 나타내는 무 차원 상수로서 붕괴가 진행하면서 비율에 따라 크기가 커질 뿐 고정된 모양을 유지한다고 가정한다. VO는 초기 저수지 용량(m3)이며 지수 p는 저수지 고유 특성을 반영 한 형상계수로서 1-3의 값을 추천한다(Costa and Schuster, 1988;Waythomas et al., 1996). θ 는 유출구 사면각도이고 수직인 경우 90° 를 나타낸다. γ, VO, θ 는 현장관측자료를 바탕으로 각각 0.29, 246000 m3, and 25o를 사용하였다. C1C2는 형상계수로서 각각 (2/3)1.5과 (1/2)0.5 (4/5)2.5이다(Waythomas et al., 1996). 유량 Q (m3/sec)는 다음과 같이 계산할 수 있다.

    Q = ( c 1 b + c 2 H  cot θ ) g 0.5 H 1.5
    (5)

    2.3. 매개변수 최적화

    본 연구에서는 관측자료로부터 네 개의 매개변수를 결정하기 위하여 다변수 최적화 기법을 사용하였다. 다 변수 최적화 기법은 수문 및 기상분야와 같은 수자원 관 련 비선형 모형의 광역(global) 최적화 매개변수를 추정 하기 위하여 흔히 사용하는 방법이다(Duan et al., 1993, 1994). 이 기법은 가능한 매개변수 공간에서 여러 변수 를 선택하여 최적의 해를 이끌어내기 위하여 임의로 표 본 선정을 반복한다. 다변수 최적화 기법에서는 n (=4)개 의 매개변수에 대해서 실질적으로 가능한 일정 정도의 범위를 미리 선정하고 그 범위 내에서 오차가 최소가 되 는 매개변수를 결정한다.

    관측값과 시뮬레이션의 오차가 최소제곱오차 (RMSE)같은 목적함수(O)의 조건을 만족하도록 여러 개의 해를 구한 후 오차가 가장 작은 매개변수를 최적해 로 선정한다.

    2.4 수문모형

    식(5)에서 유출구(breach)를 통하여 흘러나오는 유량 이 결정되면 댐 하류뷰 지역의 가능한 침식범위를 모의 할 필요가 있다. 이를 위하여 미국 연방방재청(FEMA) 에 의하여 공인된 2차원 수문모형 FLO-2D를 사용하였 다. FLO-2D모형은 1988년에 미국 콜로라도 주에서 상 업용 보험목적으로 도시 침수 가능지역을 파악하기 위하 여 처음 개발되었다. FLO-2D는 질량보존법칙을 유지하 면서 홍수의 추적을 재현해내는 모형으로 홍수 재해, 홍 수 침수 가능지역, 홍수 피해저감 등에 유용하게 사용될 수 있다. 지표면 홍수 모의를 기본으로 다양한 지형적 요 건 즉, 도시지역의 건물, 교량, 제방 등의 유동 장애물, 유 동 경로에서 손실 등에 대한 구성 요소를 시뮬레이션에 추가 할 수 있다. FLO-2D모형은 GDS, MAPPER++ 등 이 기능이 내재되어 있어 자동적으로 침수 구간을 구별 해고 결과를 그래프 처리하여 시각적으로 보여준다.

    3. 연구결과

    앞에서 언급하였듯이 비선형 붕괴함수 식(1)에서는 네 개의 매개변수 α , β, γ, μ가 존재한다. 이 중 αμ 는 붕괴 전후 댐체의 관측으로부터 결정할 수 있다. 그러 나 매개변수 βγ는 댐체를 구성하는 재질, 내구성, 균 질성 등과 관련이 있으며 모형을 사용하기 이전에 최적 의 값을 결정할 수 있어야 한다. Fig. 2(a) 에서는 매개변 수 βγ가 일정한 범위 내에서 변할 때 유출구에서 유 량의 반응을 모의한 결과를 보여준다. β가 2.0에서 2.6 까지 변하는 동안에 최대유량은 약 70 m3/sec로 변하지 않고 시간 이동만 발생한다. 매개변수 β는 붕괴가 진행 되는 시간과 관련이 있으며 유량의 크기와는 무관함을 나타낸다. Fig. 2(b)는 매개변수 γ가 2.5에서 6.5까지 변 화하는 동안에 유출구에서의 유량을 산정한 그림이다. 매개변수 β와 달리 붕괴진행시간은 움직이지 않고 매개 변수 γ가 증가함에 따라 유량의 크기만 비례해서 증가하 는 양상을 보여준다. β가 2.5에서 최대유량이 40 m3/sec 인 반면 β가 6.5에서는 최대유량이 100 m3/sec로서 약 150 % 증가함으로서 상당히 민감한 것으로 나타났다. Fig. 2(a-b)의 결과로 미루어보면 매개변수 βγ는 서 로 상호 작용은 없이 독립적인 관계를 보여준다고 할 수 있다. 매개변수의 변화에 따른 유량의 반응은 연구측면 에서는 관심사항일 수 있어도 실무자나 현장에서는 매개 변수가 실제 침수범위에 어떤 영향을 미치는 지가 더 큰 관심사항일 것이다. 이를 확인하기 위하여 Fig. 2(a-b)의 유량결과를 2차원 수문모형인 FLO-2D의 입력자료로 사용하여 연구대상지역에서 침수범위와 변화를 살펴보 았다.

    매개변수 βγ의 변화에 대응하여 나타나는 침수범 위의 반응은 Fig.3에서 보여준다. Fig. 3(a)에서 보듯이 β는 침수범위에 큰 영향을 미치지 않는 것으로 보인다. β값이 2.0에서 침수범위는 약 235000 m2이었으나 β이 2.6에서는 약 230000 m2이었다. 이는 미미한 결과로서 β가 유량의 크기와는 무관하고 붕괴진행시간과 관련이 있다는 것을 안다면 납득이 갈 것이다. 그러나 이러한 양 상은 매개변수 γ에서는 완전히 달라진다. Fig. 3(b)에서 보면 γ가 1.5에서는 침수범위가 약 195000 m2이나 γ가 6.5에서는 침수범위가 약 240000 m2으로 약 20% 이상 의 변화를 보여준다. 이는 γ가 고정된 진행시간에서 유 량의 크기와 상관하는 매개변수라는 것을 확인해 주는 것이다. 동시에 수문모형인 FLO-2D을 운영하여 모의한 침수변화양상을 Fig. 4와 Fig. 5에서 보여준다. Fig. 4β의 변화에 따른 침수반응을 보여주는데 그 양상이 Fig. 3(a)와 비슷하여 침수범위에서는 눈에 띄는 뚜렷한 변화 를 감지하기가 어렵다. Fig. 5에서는 γ의 변화에 따른 침 수변화를 보여주는데, 예상한대로 γ의 값이 증가함에 따 라 침수범위가 두드러지게 변화하는 것을 볼 수 있다. 매 개변수 γ는 유출구에서 유량의 크기만 지배할 뿐 아니라 그 영향은 수문모형에도 영향을 미쳐 침수범위에 지배적 인 영향을 미치는 것으로 나타났다.

    4. 결 론

    비선형 붕괴모형에 대하여 매개변수 민감도를 분석하 였다. 비선형 붕괴모형은 수학적으로 수정형 라지스틱함 수 형태를 보이며 네 개의 매개변수를 포함하고 있다. 네 개의 매개변수는 α , β, γ, μ로서 αμ는 각각 붕괴 전 후 댐체의 높이를 나타내는 것으로 직접 관측으로 결정 할 수 있다. 그러나 βγ는 댐체의 재질과 관련된 매개 변수로 사전에 결정되어야 한다. 매개변수 β는 붕괴 진행 시간과 관련되고 유량의 크기와는 관련이 적은 것으로 나타났으나,는 유량의 크기와 밀접한 관련이 있는 것으 로 나타났다. 같은 맥락으로 수문모형인 FLO-2D를 사 용하여 모의한 침수범위에서도 비슷한 양상을 보여 주었 다. β는 붕괴 진행속도를 지배하고 γ는 유량의 크기 즉 홍수의 첨두유량을 지배하므로 매개변수를 결정할 때 신 중을 기해야 한다.

    이 연구는 앞으로 우리나라에서 노후화된 저수지를 파괴 유형별로 분석 연구하여 저수지 유실로 인한 주변 의 위험지역을 파악하여 홍수 위험 지도를 작성할 시 인 명피해와 침수로 인한 재산피해가 최소화 되도록 하는데 기여할 것이다.

    감사의 글

    이 논문은 2018학년도 대구대학교 학술연구비 지원 에 의한 논문임

    Figure

    JESI-28-2-211_F1.gif

    A bird view of Sandae reservoir.

    JESI-28-2-211_F2.gif

    Simulated discharge as a function of time in variation with the parameter βand γ. Fig. 2(a) is a function of β while Fig. 2(b) is a function of γ.

    JESI-28-2-211_F3.gif

    Inundation area in variation with the parameter βγ.

    JESI-28-2-211_F4.gif

    Inundation area simulated by FLO-2D in variation with β.

    JESI-28-2-211_F5.gif

    Inundation area simulated by FLO-2D in variation with γ.

    Table

    Reference

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